目标公式：

$$\boxed{{\displaystyle T_{\text{Dreh}}=\frac{T_{\text{Tag}}}{\sin \phi }}}$$

适用范围/假设：

• 摆动平面（近似）是惯性系：它在空间中保持方向不变，转动的是其下方的地球（讲义口径，主题 8 §8.3）。
• 摆悬挂理想（万向、无强迫），摆长足够长、观察时间足够长，方能显出效应。
• 论证级别：本推导用角速度矢量分量论证 + 两个极限自检；完整严格的推导需要在转动参考系中引入科里奥利力，超出口试范围——这一点要主动声明。

用到的公式

公式	名称	Formelnheft
$\omega ={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\phi }{\mathrm{\Delta }t}}=2\pi f$	Winkelgeschwindigkeit	✅ S. 2 („Winkelgeschwindigkeit")
$f={\displaystyle \frac{1}{T}}$	Frequenz	✅ S. 2 („Frequenz")
${\mathrm{\Omega }}_{\perp }=\mathrm{\Omega }\sin \phi$	矢量分量分解	❌ 数学（直角三角形分量），不在 Formelnheft——考场需自己画图写出
$T_{\text{Dreh}}={\displaystyle \frac{T_{\text{Tag}}}{\sin \phi }}$	Foucault-Drehperiode	❌ 不在 Formelnheft——即本推导的结论

推导（Schritt für Schritt）

1. 写出地球自转的角速度矢量 $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$（地球是一个转动系统：$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ 沿自转轴方向（指向北天极），大小由「一天转一圈」给出，用 S. 2 的 $\omega =2\pi f$、$f=1/T$）：$$\mathrm{\Omega }=\frac{2\pi }{T_{\text{Tag}}}$$
2. 在纬度 $\phi$ 处把 $\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ 分解到当地坐标（几何：当地竖直方向（铅垂线）与自转轴的夹角为 $90°-\phi$——等价地说，自转轴在当地地平线上的「高度角」恰等于纬度 $\phi$（北极星高度=纬度）。按直角三角形分量）：$${\mathrm{\Omega }}_{\perp }=\mathrm{\Omega }\cos (90°-\phi )=\mathrm{\Omega }\sin \phi \text{（竖直分量）},{\mathrm{\Omega }}_{\parallel }=\mathrm{\Omega }\cos \phi \text{（水平分量，指北）}$$
3. 论证：只有竖直分量 ${\mathrm{\Omega }}_{\perp }$ 转动摆面（物理核心步骤）：
   • 摆动平面在空间中方向不变（惯性系）；「摆面旋转」指地面在它下面转走。
   • 绕当地竖直轴的转动（即 ${\mathrm{\Omega }}_{\perp }$）恰好把地面上的水平方向（北、东……）绕铅垂线转动——这正是摆面相对地面「转圈」的那种转动。
   • 绕水平轴的转动（即 ${\mathrm{\Omega }}_{\parallel }$）只是把当地的铅垂线方向「搬运」着改变（随地球转动，当地「上下」的指向在空间中缓慢变化）；摆轴被重力与悬挂强制跟随铅垂线，它改变的是摆轴的方向，不使摆面绕铅垂线旋转。
   • 故摆面相对地面的有效旋转角速度只有：
   $${\mathrm{\Omega }}_{\text{Dreh}}={\mathrm{\Omega }}_{\perp }=\mathrm{\Omega }\sin \phi$$
4. 由角速度回到周期（再次用 $T=2\pi /\omega$，对 ${\mathrm{\Omega }}_{\text{Dreh}}$）：$$T_{\text{Dreh}}=\frac{2\pi }{{\mathrm{\Omega }}_{\text{Dreh}}}=\frac{2\pi }{\mathrm{\Omega }\sin \phi }=\frac{2\pi }{\frac{2\pi }{T_{\text{Tag}}}\sin \phi }⟹\boxed{{\displaystyle T_{\text{Dreh}}=\frac{T_{\text{Tag}}}{\sin \phi }}}$$
5. 两个极限自检（检验分量论证是否给出物理上必然的结果）：
   • 极点 $\phi =90°$：$\sin 90°=1\Rightarrow T_{\text{Dreh}}=T_{\text{Tag}}$。必然如此：在极点，自转轴就是当地竖直轴，地球恰好整个在摆下方转过——摆面一天相对地面转一整圈。✓
   • 赤道 $\phi =0°$：$\sin 0°=0\Rightarrow T_{\text{Dreh}}\to \mathrm{\infty }$。必然如此：赤道上自转轴完全水平（${\mathrm{\Omega }}_{\perp }=0$），地面不绕铅垂线转——摆面根本不转。✓
6. 声明论证级别（口试加分点）：分量论证给出正确结果，但「水平分量不转摆面」处是合理性论证而非严格证明；严格做法是在随地球转动的参考系中写出科里奥利力对摆的作用并求平均——超出口试范围，结论相同。

算例（老师口径 ★）

• 维也纳 $\phi \approx 48°$：$\sin 48°=\mathrm{0,743}$$$T_{\text{Dreh}}=\frac{24\text{h}}{\mathrm{0,743}}\approx 32,3\text{h}\approx 32\text{h}✓$$
• 极点（南极/北极）：$T_{\text{Dreh}}=T_{\text{Tag}}=24\text{h}$（老师口径）。
• 严格口径：$T_{\text{Tag}}$ 应取恒星日（地球相对恒星转一整圈）$\approx 23$ h 56 min $=23,93$ h——则极点 $23$ h 56 min、维也纳 $\frac{23,93}{\mathrm{0,743}}\approx 32,2$ h。口试先答 24 h/32 h，再主动补「严格说是恒星日」。

变量表

符号	含义	SI 单位
$T_{\text{Dreh}}$	摆动平面相对地面转一整圈的周期	s（习惯用 h）
$T_{\text{Tag}}$	地球自转周期：老师口径 24 h；严格为恒星日 ≈ 23 h 56 min	s（习惯用 h）
$\phi$	当地地理纬度	rad（习惯用 °）
$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }},\mathrm{\Omega }$	地球自转角速度矢量及其大小（$\mathrm{\Omega }=2\pi /T_{\text{Tag}}\approx 7,3\cdot {10}^{-5}$ rad/s）	rad/s
${\mathrm{\Omega }}_{\perp }$	$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ 沿当地竖直方向的分量 $=\mathrm{\Omega }\sin \phi$	rad/s
${\mathrm{\Omega }}_{\parallel }$	$\overrightarrow{\mathrm{\Omega }}$ 沿当地水平（指北）方向的分量 $=\mathrm{\Omega }\cos \phi$	rad/s
${\mathrm{\Omega }}_{\text{Dreh}}$	摆面相对地面的有效旋转角速度	rad/s
$f$	频率	Hz = 1/s

关联

• 主题 8 §8.3——讲义口径：摆面为惯性系、维也纳 32 h、南极 24 h 真题追问、「没有完美惯性系，因为引力无处不在」。
• H07——同样以 $\omega =2\pi /T$ 为枢纽的「周期↔角速度」换算。
• 摆的摆动周期（另一回事！）$T=2\pi \sqrt{l/g}$ 在 Formelnheft S. 3（„Fadenpendel")——勿与本文的旋转周期 $T_{\text{Dreh}}$ 混淆。